Che poi a dirla tutta, pensavo che non avesse niente a che fare con la matematica; prima di studiarla sui libri universitari ero convinto che avrei potuto prepararla in cucina. Pensavo che la trasformata di Fourier fosse l’esperimento di qualche guascone (Fourier per l’appunto) che fingendosi chef nella Napoli borbonica si dilettava alla corte di un re Ferdinando. Immaginavo che un giorno, forse a causa di qualche tresca amorosa con una delle sue tante aiutanti, avesse dimenticato in forno un impasto di acqua, farina e qualche altro ingrediente misterioso, e che questa preparazione si fosse magicamente trasformata in un super-alimento, sia chiaro, non ai livelli delle bacche di Goji o del Kale. Un super-alimento che presto sarebbe diventato popolare (ovvero del popolo) per poi trasformarsi in popolare (ovvero largamente conosciuto), chiaramente sotto il nome di Trasformata di Fourier. Immaginavo le viuzze del rione Sanità e le donne, che in procinto di raccogliere le immancabili lenzuola bianche, imprecavano ai sei-otto figliuoli che erano giù per strada:
“Non surat’, e sajiit … aggio fatt’à trasfurmat’e Furié”
E lì di sotto i bambini, di solito restii a seguire gli ordini della povera madre, facevano a gare per salire le lugubri e strette scale che li conducevano al loro modesto appartamento.

Fu qualche anno dopo che mi accorsi di quanto avessi fatto galoppare la fantasia nella direzione sbagliata. Fu un grande dispiacere e allo stesso tempo una grande sorpresa, capire che la Trasformata di Fourier (TF) fosse un oggetto matematico piuttosto che culinario. Anni e anni di studio mi hanno portato a capirne l’importanza e a percepirne probabilmente il suo vero significato. Ed proprio questa percezione che oggi cercherò di intrappolare fra due assi cartesiani.
La TF viene utilizzata quotidianamente, spesso inconsapevolmente, da molte persone che hanno a che fare con il suono o la luce (fotografi, fisici, ingegneri, tecnici del suono, geologi),
lacets_alpedhuezma non userò ne il suono ne la luce per parlarvi della mia rapporto con la TF. Userò l’Alpe d’Huez. Chi non conosce quest’ascesa mitica nell’Alpi francesi? Forse proprio tu, ed è per questo che devi sapere che una delle peculiarità principali dell’Alpe d’Huez sono i suoi 21 tornanti. Ve li mostro qui a destra. Sono proprio questi tornanti, i musi ispiratori di questo “Ti faccio un grafico”.

Per scrivere questo articolo, ho deciso di partire da Marsiglia poco più di un mese fa ed andare dove osano le aquile ed i moto-ciclisti per affrontare in bicicletta questa salita, registrando la velocità di crociera. A dire il vero non mi interessava tanto affrontare la salita, sapevo che non sarei riuscito a battere il record di Marco Pantani (36 primi e 40 secondi), trovandomi in un momento di scarsa forma. Mi interessava piuttosto la discesa; il motivo ve lo dirò fra poco e ve lo assicuro, non era la minor fatica* che avrei dovuto compiere* in discesa.
alpe d'huez
Nel grafico qui a sinistra, riporto in rosso l’altitudine (asse a sinistra) e la velocità in blu (asse a destra) in funzione della distanza (asse in basso e in alto). Come potrete notare l’andatura durante la salita non era elevata (<10 km/h di media) ma potrete sicuramente notare che ci sono dei momentanei picchi di velocità. Come se ci fosse qualcuno che d'alto mi spingesse permettendomi di andare un po' più veloce. Se conto questi picchi ne trovo circa 20, quasi quanti i tornanti della salita. Ma tutto ciò è ancora più evidente (l'evidenza, ecco il motivo del mio interesse per la discesa) nella seconda parte del grafico, lì davvero sembra un cardiogramma di uno stambecco. Anche in questo caso trovo circa 20 sali e scendi (possono essere tra i 18 e 22, secondo quali vengono contati), quasi quanti i tornanti della discesa. A meno di strani complotti e manine furbacchiotte, correlare i picchi con i tornanti non mi sembra un'idea folle. Ad ogni tornante una frenata, quindi un picco verso il basso, ad ogni rettilineo un'accelerata, quindi un picco verso l'alto. Se adesso qualcuno vi chiedeste ogni quanti metri si trova un tornante, avresti due possibilità:

1) contare i picchi, vedere nell’asse della distanza quanta strada ho percorso tra il primo e l’ultimo picco, poi fare una bella divisione in colonna e taaaaaaaaaaaac, il gioco è fatto;
2) Usare la TF e prendere l’inverso della frequenza e taaaac, il gioco è fatto.
Mi sembra evidente che la seconda opzione è la più veloce (una riga contro due e mezzo).
A questo punto ci sono due possibilità per portare a termine la tua scelta:
1) Se conosci la TF: usi un programma che automaticamente applica la TF al tuo segnale.
2) Se non sai cosa sia la TF: usi un programma che automaticamente applica la TF al tuo segnale. Di solito va sotto il nome di FFT (Fast Fourier Trasform).
Per farla semplice, la TF è quell’operazione che ti permette di scomporre il tuo segnale e capire se c’è qualcosa di periodico in esso. Se c’è un solo periodo che si ripete, potrai descrivere il tuo segnale con un solo termine (di solito un seno, una funzione seno) caratterizzato da una particolare frequenza. Se ci sono x (però pochi) periodi, avrai bisogno di x termini e x frequenza; se ci sono tanti periodi a quel punto meglio integrare ed usare il tasto FFT.
Facendo questo, otterrete il grafico (quello piccolo) qui sotto. La TF mi dice che ci sono tante frequenze nel mio segnale (che ricordo è la velocità durante la discesa), ma che in particolare ho un picco ad un frequenza di 1,709 1/km. Adesso mi aspetto che se uso un Seno a questa frequenza io possa ritrovare più o meno il mio segnale di partenza. La curva verde mostra che ci riesco più o meno (Se in teoria avessi messo vari termini con le varie frequenze presenti nel grafichetto, avrei potuto sicuramente avvicinarmi al “più”).  Adesso seguo le istruzioni per l’uso e trovo che mediamente c’è un tornante ogni 1/1,709=585 m. Moltiplicando 585*21 trovo 12.3 km, cioè la lunghezza dell’Alpe d’Huez se ci fossero solo 21 tornanti, valore non troppo lontano dai 14 km effettivi della salita/discesa.

Seno
Insomma ogni volta che si maneggiano segnali, la TF torna utile. Tutti questi segnali sono formati da differenti pezzi, caratterizzati da differenti frequenze. Il suono (ed il rumore) lo è, la luce lo è, ed in generale per ogni roba che possa essere descritta da onde, la TF sarà sempre uno strumento necessario. W la TF!

*Se non hai studiato fisica e bazzicato con qualche campano, la frase “compiere una fatica” ammetto che possa sembrare un po’ strana.